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2024年6月浙江省学业水平适应性考试（高二年级）数学.考卷答案试卷答案
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19,(12分)2022年9月28日晚，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，20,(12分又一次以3：0的比分酣畅淋滴地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜直角三榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制平面A吗？其规则是：每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束上比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或31取胜的球队积3分，负队积0分；以3：2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲，乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为子炎(1)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；(1D证明(2)如果甲，乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率.(2)若A积取数学试题（长郡版）第5页（共8页）
分析所证明的不等式的左侧是n-1项，因此是对数表达式，联想对数运算法则：ln$\frac{M}{N}$=lnM-lnN，引入辅助函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，由导数证明其在[1，+∞）上为增函数，得到f（ $\frac{n}{n-1}$）＞0，即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，则数列不等式得证．
解答证明：令f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f′（x）=$\frac{-x-1+x}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，
当x≥1时，f′（x）≥0，∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（$\frac{n}{n-1}$）=$\frac{1-\frac{n}{n-1}}{\frac{n}{n-1}}$+ln$\frac{n}{n-1}$=ln$\frac{n}{n-1}$-$\frac{1}{n}$＞f（1）=0，
即：$\frac{1}{n}$＜ln$\frac{n}{n-1}$，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$＜lnn．
点评本题考查了数列的求和，考查了利用构造函数法证明数列不等式，关键是构造出增函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，是难题．
