大湾区2023-2024学年高一第二学期期末联合考试试题(数学)

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大湾区2023-2024学年高一第二学期期末联合考试试题(数学)试卷答案

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乃二全国©©所名校高考模拟金典卷D④第Ⅱ卷（非选择题共56分)二非选择题（共56分

第36~37题为必考题，每个试题考生都必须作答

第43~(2)列举在中老铁路4题为选考题，考生根据要求作答)回中国浓专衣增性质差异较大()8考题：共46分

36,读图文材料，完成下列要求

(24分)园中图在龙财土为壑这某地有坝沟道和

2021年12月3日，作为中老友谊标志性工程的中老铁路（如图）正式开通运②中园得设，老坝沟道林地履盖度较高，中老铁路线路全长1035km,设计速度为160km/h,以中方为主投资建设，全至整株死亡

读图，完成采用中国技术标准，使用中国装备】o-/~无>有中老铁路沿线旅游资源丰富，中国云南普洱原生态茶园、中国野生亚洲象栖息、老挝琅勃拉邦的世界文化遗产、老挝万荣岩溶地貌等均是知名旅游目的地

铁密907四府>无)建设过程中始终坚持人与自然和谐共生的理念，从规判迭线、施工管理、运营维务个环节，严格落实生态环境保护措施(3)推测中老铁路建设10090①铁路院陷回为野象役置20回冷伐西因为壤含水量/g~g内比品国对好用电仰光图例封封以上为深层土壤

首都⑨屋挂禾用等回省级行政中心于D白铁路D地下径流黄位左千中港口西哈努克限地边及净创)河流，湖泊国界曼人渗)简述中老铁路通车给老挝陵运交通带来的有利影响

(4分)(4)未中老铁路者在！较小乐发07切立防大外山通道建议，并地理D,①③④四经物梦1足的数9”线线肉西年接风~80cm可的大场直通1度手30~200cm相曼9懂为另1呼1011

分析（1）由已知得a_n＞0，a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＞0，由此能证明对一切n∈N^*，有a_n＜a_n+1；由条件可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，运用裂项相消求和和放缩法，即可得证；
（2）由（1）可得数列{a_n}是递增数列，结合已知求出a₂，a₃，a₄，再由当n≥4时，a_n＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．即可得证．

解答解：（1）在各项均为正数的数列{a_n}中，
a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＞a_n，
则数列{a_n}单调递增；
证明：由于0＜a_n＜a_n+1，
可得a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜a_n+$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{n}^{2}}$，
即有a_n+1-a_n＜$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{n}^{2}}$，
即为$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\sum_{k=1}^{n-1}$（$\frac{1}{{a}_{k}}$-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）
＞$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\sum_{k=1}^{n-1}$$\frac{1}{{k}^{2}}$＞3-[1+$\sum_{k=2}^{n-1}$$\frac{1}{k（k-1）}$]
=3-（1+1-$\frac{1}{n-1}$）=$\frac{n}{n-1}$＞1，
即有$\frac{1}{{a}_{n}}$＞1，又a₁=$\frac{1}{3}$＜1，
故对任意的n∈N⁺，恒有a_n＜1；
（2）证明：由a₁=$\frac{1}{3}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$；
a₂=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{4}{9}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{8}$；
a₃=$\frac{4}{9}$+$\frac{16}{81}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{40}{81}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{12}$=$\frac{5}{12}$；
a₄=$\frac{40}{81}$+$\frac{1600}{81×81}$×$\frac{1}{9}$=$\frac{30760}{59049}$＞$\frac{1}{2}$，
由数列{a_n}单调递增，可得a_n≥a₄＞$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．
综上可得，对一切n∈N⁺，有a_n＞$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4n}$．

点评本题考查数列的单调性的判断和运用：证明不等式，考查推理和运算能力，属于中档题．