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2025届全国高考分科模拟调研卷(三)试题(数学)试卷答案
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三年前，江南大旱，烈日炙烤着山川大地，庄稼一片焦枯
崔中琪下乡察访，发现灾情令人心惊，全县民众十室九空
崔中琪连夜撰写公文，命人火速送往京城
全郡百姓翘首企盼
然而，各方传来的消息，雪上加霜
众多朝廷官员认为，江南旱情，并无地方官上报的那般严重
地方官习惯了夸大其词，无非是套取朝廷税费
半个月过去了，没有消息；一个月过去了，还是没有消息
崔中琪夜不能寐、心急如焚
若朝廷不能尽速出台赈济之策，江南十八县百姓将民不聊生
苦思冥想后，决定铤而走险：修书一封，派心腹之人连夜赶往京城
送出信后，崔中琪长嘘了一口气
他对这封信送出的后果十分清楚，可是只要有一分希望，他也愿意冒死去做
十五年前自己进士及第，被任命到石郡为官时，他就发誓，要与石郡百姓共患难
可地方官私自与亲王通信，那是大罪甚至是死罪！但从五年前，太子首次巡视时的言行来衡量，他又觉得值得赌一把，输了无非是罪己一人，而倘若赢了，则是救全郡百姓，功在千秋
他做好了最坏的打算，将遗书封好，交给僚属，一旦遭遇不测，让其将遗书送往远在数千里之遥的关中老家
崔中琪几乎每天都要到城北门眺望，看有无塘报送至
接连数日，烈日如常，身边众多官员和幕僚多次相劝，可他心里的希望之火始终不灭
第七天，突然听到远处传来马蹄声
大喜，忙命人备马，出城迎候
前方烟尘滚滚，十余骑飞奔而来，他用力眨了眨自己的双眼，不敢相信眼前的景象，十余骑的最前面一匹高大的红鬃马上之人，不正是昭明太子吗？崔中琪连忙下马，匍匐于地，叩拜道：“下官崔中琪罪该万死
”昭明太子满脸疲惫，摆了摆手，让崔中琪上马，一行人未及休息，就赶往周边田庄查看灾情
次日，太子令崔中琪开仓放粮赈济百姓
全郡男女老少无不泪流
那次大旱，江南十八县普受重灾，多县百姓外出乞讨
唯有石郡无一人饿死，无一人外出逃难
两年前，太子广邀江南各地大儒名流，齐聚池州
他要在这青山秀水之间，组织编撰一部古今罕见的文章选粹，以教化国人，传承千古
崔中琪受命领衔赞画
太子终日参与其中，劳累过度，身体常有病痛
崔中琪苦劝不止，最后还是皇上圣谕，太子才于秋凉时离开石郡返回京城
不想，这一别后，太子病情日益加重
崔中琪焦虑难安
这日，他在府衙中审校完最后一篇文选，令人封存文档，立即赶赴京城送太子殿下裁断
忽有快马来报，说太子殿下一行已至城东十里之内
崔中琪忙率众官员往城东迎接
满城百姓也纷纷赶来，成千上万的百姓挤满了城东官道
半个时辰过去了，迟迟不见太子的车队和马队，崔中琪隐隐感到了一丝不安
一个时辰过后，看见了前方缓缓而来的车队和马队
崔中琪急忙抢上前去，跪伏于地：“石郡太守崔中琪率文武官员和全城百姓迎候太子殿下
”马车珠帘低垂，没有回应
崔中琪斗胆上前揭开珠帘，车内只有太子当年来视察时所着衣冠
队伍中一名官员，来到崔中琪身前下马扶起崔中琪，哑着嗓子道：“崔大人请起，太子殿下已于三日前薨了！临去世前留有口谕一封，要我等亲自送来
”来人大声宣谕道：“太子殿下口谕，石郡乃江南福地，幸蒙父皇恩赐，又赖全郡百姓厚爱，上下官员齐心，方能有今日之福祉
我昭明无以为报，送来衣冠，葬于山水之间
望我去后，诸位仍能一如从前，勤俭立业，心系百姓，我当含笑九泉矣
”次年春天，崔中琪撒手人寰
他们共同编撰的文选经皇上恩准，命名为《昭明文选》
(有删改)语文第4页（共8页）
分析（1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）不妨设a＞b，则A-B=-$\frac{（{e}^{\frac{a}{2}}-{e}^{\frac{b}{2}}）^{2}}{2}$＜0，可得A＜B．而A-C=${e}^{\frac{a+b}{2}}$-$\frac{{e}^{a}-{e}^{b}}{a-b}$=$\frac{{e}^{\frac{a+b}{2}}（a-b-{e}^{\frac{a-b}{2}}+{e}^{\frac{b-a}{2}}）}{a-b}$，令m（x）=2x-ex+e-x（x＞0），利用导数研究其单调性即可得出A＜C．同理可得B与C的大小关系．
解答解：（1）f（x）的反函数为y=lnx，
${y}^{′}=\frac{1}{x}$．
设切点为（x0，lnx0），则切线斜率为k=$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
解得x0=e，
∴k=$\frac{1}{e}$．
（2）不妨设a＞b，则A-B=${e}^{\frac{a+b}{2}}$-$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$=-$\frac{（{e}^{\frac{a}{2}}-{e}^{\frac{b}{2}}）^{2}}{2}$＜0，∴A＜B．
A-C=${e}^{\frac{a+b}{2}}$-$\frac{{e}^{a}-{e}^{b}}{a-b}$=$\frac{（a-b）{e}^{\frac{a+b}{2}}-（{e}^{a}-{e}^{b}）}{a-b}$=$\frac{{e}^{\frac{a+b}{2}}（a-b-{e}^{\frac{a-b}{2}}+{e}^{\frac{b-a}{2}}）}{a-b}$，
令m（x）=2x-ex+e-x（x＞0），则m′（x）=2-ex-e-x＜0，
∴m（x）在（0，+∞）上单减，
故m（x）＜m（0）=0，取x=$\frac{a-b}{2}$，
则a-b-${e}^{\frac{a-b}{2}}$+${e}^{\frac{b-a}{2}}$＜0，∴A＜C．
$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$＞$\frac{{e}^{a}-{e}^{b}}{a-b}$?$\frac{a-b}{2}$＞$\frac{{e}^{a}-{e}^{b}}{{e}^{a}+{e}^{b}}$=1-$\frac{2}{{e}^{a-b}+1}$，
令n（x）=$\frac{x}{2}$-1+$\frac{2}{{e}^{x}+1}$，
则n′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{2{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{（{e}^{x}-1）^{2}}{2（{e}^{x}+1）^{2}}$≥0，∴n（x）在（0，+∞）上单增，
故n（x）＞n（0）=0，取x=a-b，
则$\frac{a-b}{2}$-1+$\frac{2}{{e}^{a-b}+1}$＞0，
∴B＞C．
综合上述知，A＜C＜B．
点评本题考查了“作差法”、构造函数比较两数的大小关系、利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
