2025届高三8月联考（四省联考）试题(数学)

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2025届高三8月联考（四省联考）试题(数学)试卷答案

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第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知向量a=(2,m,-4),b=(-1,4,2),且a/b,则实数m=」14.已知直线1：x+2y-4=0与直线12：2x+4y+7=0,则1,12之间的距离为15.已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0,直线1：x+y-4=0,若在直线1上任取一点M作圆C的切线MA,MB,切点分别为A,B,则∠ACB最小时，原点O到直线AB的距离为一16.已知椭圆二+上=1的左、右焦点分别为5、A,点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段P5的中点在以原点043为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率为四、解答题：本题共6小题，共70分

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.(本小题满分10分)已知平面内两点A(6,-6),B(2,2).(1)求线段AB的中垂线方程；(2)求过P(2,-3)点且与直线AB平行的直线1的方程.18.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-6x-8y+24=0

(1)求圆C的圆心坐标和半径：(2)已知点P(2,0),过点P作圆C的切线，求出切线方程

19.（本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90°，AB=AC=AA=2,E是BC中点.A1(1)求点A,到平面AEC,的距离：(2)求平面AEC与平面ABB,A,夹角的余弦值；B1A高二数学学科试题第3页（共4页）

分析（1）由椭圆上的点到焦点距离的最大值与最小值的差为2，可得（a+c）-（a-c）=2，解得c．进而得出b²=a²-c²．
（2）设直线l的方程为my=x-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为（3m²+4）y²+6my-9=0．由$\overrightarrow{{F}_{2}A}$+2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，可得y₁+2y₂=0，与根与系数的关系联立解出即可．

解答解：（1）∵椭圆上的点到焦点距离的最大值与最小值的差为2，
∴（a+c）-（a-c）=2，解得c=1．
∴b²=a²-c²=4-1=3．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设直线l的方程为my=x-1．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（3m²+4）y²+6my-9=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．（*）
∵$\overrightarrow{{F}_{2}A}$+2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，
∴y₁+2y₂=0，
与（*）联立可得：y₂=$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，
y₁=$\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}$，
∴$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$×$\frac{-12m}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
化为m²=$\frac{4}{5}$，
解得m=$±\frac{2}{\sqrt{5}}$．
∴直线l的方程为：y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x-1）．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“直线与椭圆相交问题、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．