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江西省南昌2025届高三摸底测试试题(数学)试卷答案
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克洛德星期三要走，又从来没去过圣代梅尔小姐家，我们就今天去吧，来个出其不意！”有的孩子犹豫，有的说要回去问妈妈
贝尔朗轻蔑地打量着他们说：“好吧，你们别去了，那样我们吃的东西会更多！”于是，大家一起出发了
这一小群人（领头的是贝尔朗）在门口等了很久，终于听到里面拖拖沓沓的脚步声
门闩取下来了，一个寒酸的身影，布鞋，围裙，苍白疲惫的脸，蓬松的灰色头发出现在他们面前：这是女仆
“我们来看圣代梅尔小姐
”他们说着走进了屋
可是…是不是走错门了？在这间凄凄惨惨的客厅里，没有鲜花，家具上蒙的是破布套…从半开的门里，他们看到那些房间：没有地毯，扶手椅是坏的，墙上的花壁纸耷拉着…怎么，杂物间、贮藏室都在底层？
分析Sn=$\frac{4}{3}$an-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$+$\frac{2}{3}$，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，an=4an-1+2n，变形为${a}_{n}+{2}^{n}$=4$（{a}_{n-1}+{2}^{n-1}）$，再利用等比数列的通项公式可得：an+2n=4n．可得Sn=$\frac{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+1}-2）}{3}$，于是$\frac{{2}^{k}}{{S}_{k}}$=$\frac{{3•2}^{k}}{2（{2}^{k}-1）（{2}^{k+1}-1）}$=$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{{2}^{k}-1}-\frac{1}{{2}^{k+1}-1}）$，再利用“裂项求和”可得Tn．
解答解：当n=1时，${a}_{1}=\frac{4}{3}{a}_{1}$-$\frac{4}{3}+\frac{2}{3}$，解得a1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{4}{3}$an-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$+$\frac{2}{3}$-$（\frac{4}{3}{a}_{n-1}-\frac{{2}^{n}}{3}+\frac{2}{3}）$，化为：an=4an-1+2n，
变形为${a}_{n}+{2}^{n}$=4$（{a}_{n-1}+{2}^{n-1}）$，
∴数列$\{{a}_{n}+{2}^{n}\}$是等比数列，首项为4，公比为4．
∴an+2n=4n，
∴an=4n-2n．
∴Sn=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-{2}^{n}）$-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$+$\frac{2}{3}$=$\frac{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+1}-2）}{3}$，
∴$\frac{{2}^{k}}{{S}_{k}}$=$\frac{{3•2}^{k}}{2（{2}^{k}-1）（{2}^{k+1}-1）}$=$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{{2}^{k}-1}-\frac{1}{{2}^{k+1}-1}）$，
∴Tn=$\sum_{k=1}^{n}\frac{{2}^{k}}{{S}_{k}}$=$\frac{3}{2}[（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）]$
=$\frac{3}{2}$$（1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$．
点评本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
