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云南师大附中(云南卷)2024届高考适应性月考卷(黑白黑白白白黑黑)数学.考卷答案试卷答案
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28.阅读图文材料，完成下列要求
青藏高原分布着亚洲大陆最大的湖泊群，其湖泊变化对气候变化响应敏感
然乌湖位于青藏高原东南部，是雅鲁藏布江支流帕隆藏布的主要源头，湖面海拔3850，湖体㹟长，由上湖、中湖、下湖三个有河道相连的湖泊组成，是青藏高原东南外流湖区的第二大湖泊
然乌湖属于高原温带季风湿涧气候区，夏季的西南季风将暖湿的印度洋和孟加拉湾水汽向然乌湖地区输入，春季西风南支急流在该地区扰动频繁，从孟加拉湾带来了大量的水汽，并在本区形成强降水
图为然乌湖位置及水系示意图，下表示意2015年然乌湖观测期湖泊水量收支平衡
96°40'970029°40'然真空除类水口巴弄布下湖湖巴上湖（曲2920入U河流湖泊口冰川分布区湖面降水量蒸发水量湖泊储量融水径流降水径流出湖径流融水补给时间/10m3/10m3/10m3/109m3/108m3/10m3占比/%4.9~5.10日0.010.020.020.150.280.40345.11-6.24日0.020.030.181.312.063.18396.25~9.10日0.050.060.026.664.4211.05609.1110.25日0.010.02-0.171.871.073.116310.2611.24日00.01-0.030.060.510.5911总计0.090.140.0210.068.3418.3354(1)描述表中的要素对然乌湖湖水水量平衡所起到的作用
(6分)(2)分析不同季节冰川融水、大气降水对然乌湖湖水水量平衡之间的影响
(6分)年六，
分析（1）由$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，可得四边形F1OMP是平行四边形，又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，可知F1OMP是菱形，由此可以导出a，b，c的数量关系，从而求出双曲线的离心率；
（2）运用离心率公式和N满足双曲线的方程，解方程可得a，b，即可得到所求双曲线的方程．
解答解：（1）∵$\overrightarrow{{F}_{1}O}$=$\overrightarrow{PM}$，
∴四边形F1OMP是平行四边形，
又$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OM}|}$=$\frac{\overrightarrow{O{F}_{1}}•\overrightarrow{OP}}{|\overrightarrow{O{F}_{1}}||\overrightarrow{OP}|}$，
可得cos∠POM=cos∠POF1，
即有∠POM=∠POF1，
则四边形F1OMP是菱形，
设PM与y轴交于点N，
∵|F1O|=|PM|=c，|MN|=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴P点的横坐标为-（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=-$\frac{{b}^{2}}{c}$，
把x=-$\frac{{b}^{2}}{c}$代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得y=±$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$，
∴M（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}$-$\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}$-4c2+4a2），
∴|OM|=$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$．
∵四边形F1OMP是菱形，∴|OM|=|F1O|，
即$\sqrt{\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}-4{c}^{2}+4{a}^{2}}$=c．
整理得e4-5e2+4=0，解得e2=4或e2=1（舍去）．
∴e=2，或e=-2（舍去）．
（2）由（1）可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
代入点N（2，$\sqrt{3}$），可得
$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{{b}^{2}}$=1，
解方程可得，a=$\sqrt{3}$，b=3，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
点评本题考查双曲线的离心率和方程，考查向量的共线和数量积的夹角公式，考查运算能力，属于中档题．
