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山西省2023-2024学年第一学期高一年级高中新课程模块考试试题（卷）数学.考卷答案试卷答案
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分析（Ⅰ）利用三角形内角和定理可得$\frac{a+b}{sinC}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$．由正弦定理可得a2+c2-b2=ac，由余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π）可得B的值．
（Ⅱ）由cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，可求sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用sinC=sin（A+B）可求sinC的值，利用三角形面积公式可求ab=6，①，又由正弦定理，比例性质可求3a=2b，②联立即可得解a的值．
解答（本题满分14分）
解：（Ⅰ）∵$\frac{a+b}{sin（A+B）}$=$\frac{a+b}{sinC}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$．
∴由正弦定理可得：$\frac{a+b}{c}=\frac{a-c}{a-b}$，整理可得：a2+c2-b2=ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$．…..（6分）
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．
∵△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×ab×$$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$，可解得：ab=6，①
又∵$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$，整理可得：3a=2b，②
∴由①②解得：a=2．…（14分）
点评本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，比例性质的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．
