惠东县2024届高三第三次教学质量检测试卷(2024.02)数学.考卷答案

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第Ⅱ卷(非选择题共56分)二、非选择题（共56分

第36~37题为必考题，每个试题考生都必须作答

第43~44题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共46分

36.阅读图文材料，完成下列要求

(22分)法国依云小镇是世界特色小镇的典范，环境优美，居民生活富足

在阿尔卑斯山腹地经过15年才能流出的依云矿泉水是世界高端水代表，政府在阿尔卑斯山上划出半径为500km的范围由政府管理，杜绝任何人接近；在矿泉水制造商的组织下，依云小镇成立了APM协会，成员包括水源地周围的村民，由协会出资鼓励当地居民多植树，尽量不使用化肥

依云温泉对神经系统、皮肤、心血管和泌尿消化等方面疾病有较好的疗养作用，依云温泉产业已成为全球温泉产业发展的经典案例

分析（1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线L的直角坐标方程；由余弦加法定理和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出圆C的直角坐标方程．
（2）圆C的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，求出圆心C到直线的距离，由此能求出圆C上的点到直线L的最短距离．

解答（本小题满分12分）
解：（1）∵直线L：3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得到直线L的直角坐标方程为：3x+4y+6=0，
∵圆C：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（θ-\frac{π}{4}）+6=0$，
∴${ρ}^{2}-4\sqrt{2}ρ（cosθcos\frac{π}{4}+sinθsin\frac{π}{4}）$+6=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4sinθ+6=0，
∴由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得圆C的直角坐标方程为：x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
（2）∵圆C：（x-2）²+（y-2）²=2的圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$，
圆心C（2，2）到直线3x+4y+6=0的距离d=$\frac{|6+8+6|}{\sqrt{9+16}}$=4，
∴圆C上的点到直线L的最短距离为4$-\sqrt{2}$．

点评本题考查直线和C的极坐标方程化为直角坐标方程的求法，考查圆上的点到直线的最短距离的求法，解题时要注意点到直线距离公式和ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y的合理运用．