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淮北市2023-2024学年度七年级第一学期期末质量检测数学.考卷答案试卷答案
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20.(本小题满分12分)如图1，E,F,G分别是正方形的三边AB,CD,AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，分别连接AB,CG就得到了如图2所示的几何体，是小.：g3水多但4图1图2(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，证明：AO∥平面GCF;(2)若二面角A一EF-B的大小为等，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值
21.(本小题满分12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin2B-sinC=sinAsinC,(1)证明：B=2C(2)若A是钝角，a=2,求△ABC面积的取值范围.22.(本小题满分12分)已知函数f(z)=ax,g(x）=2-c0sxsinx(1)当x∈[0，π]时，若a=1,证明：f(x)≥g(x).(2)当x>0时，f(x)≥g(x),求a的取值范围.【(九校)联考半期考高三数学试卷，第4页（共4页）】·23-89C·
分析（1）直线l的方程为y=x-c，则$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，b2=a2-c2，解得a，b即可得出．
（2）由（1）可得：椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．假设C上存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立．设A（x1，y1），B（x2，y2）．
设直线l的方程为my=x-1，与椭圆方程联立化为（2m2+3）y2+4my-4=0，利用根与系数的关系及其$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x1+x2，y1+y2），可得点P的坐标（用m表示），代入椭圆的方程即可得出．
解答解：（1）直线l的方程为y=x-c，则$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，b2=a2-c2，解得$a=\sqrt{3}$，b2=2．
∴得$a=\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$．
（2）由（1）可得：椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
假设C上存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立．设A（x1，y1），B（x2，y2）．
设直线l的方程为my=x-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，
化为（2m2+3）y2+4my-4=0，
∴y1+y2=$\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}$．
∴x1+x2=m（y1+y2）+2=$\frac{6}{2{m}^{2}+3}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x1+x2，y1+y2）=$（\frac{6}{2{m}^{2}+3}，\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}）$．
代入椭圆方程可得：$\frac{36}{3（2{m}^{2}+3）^{2}}$+$\frac{16{m}^{2}}{2（2{m}^{2}+3）^{2}}$=1，
化为2m2-1=0，
解得m=$±\frac{1}{\sqrt{2}}$．
∴直线l的方程为：y=$±\sqrt{2}$（x-1）．
由方程：${y}^{2}±\sqrt{2}y$-1=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}}\end{array}\right.$．
因此假设正确．
点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
