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2024年普通高等学校招生全国统一考试冲刺金卷(六)6数学.考卷答案试卷答案
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依题意ABCD矩形，AB=4,BC=2,E是CD中点分别在等腰直角三角形ADE和BCE求得AE=BE=2V2,又AB=4,所以，AE2+BE2=AB2AE⊥BE…2分因为，平面BEF⊥平面ABCD平面BEF∩平面ABCD=BE所以，AE⊥平面BEF,又BFC平面BEF,所以AE⊥BF.5分(2)以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0,0,0),D(4,0,0),B(0,2,0),E(2,0,0)设N是BE的中点，FE=FB有FN⊥BE,又平面BEF⊥平面ABCD.平面BEF∩平面ABCD=BEFN⊥平面ABCD,F1,LV2)8分假设存在满足题意的入，则由DP=入DB(0<入<1)可得，PF=-入DB+DF=(4久-3,1-2入，V2).设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z),DE=0则-2x=0nDF=0'-3x+y+2z=0令y=2,可得x=0,z=-1,即n=(0,V2,-110分PF与平百DF所成的角的正法道sne-小o(厅停.n2(2元-1)+2√63V3-4+(2x-1+(2)3解得入=2（0=1舍去】48
分析由已知求出|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cosx+xsinx$，代入投影数量公式得到f（x），求导后再借助于函数零点存在性定理得答案．
解答解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（1，x），
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cosx+xsinx$，
∴向量$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上投影的数量f（x）=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}=xsinx+cosx$．
∵x∈（-π，π），且f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x），
∴f（x）为偶函数；
由f（x）=xsinx+cosx，得：
f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x∈（$\frac{π}{2}，π$）时，f′（x）＜0，此时函数为减函数．
∵f（0）=1＞0，且f（π）=-1＜0，
∴函数f（x）=xsinx+cosx在[0，π）上仅有一个零点．
由偶函数的对称性可知，在（-π，0）上f（x）=xsinx+cosx也有一个零点．
∴f（x）=xsinx+cosx是偶函数，且有两个零点．
故选：B．
点评本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上投影的数量的求法，训练了利用导数研究函数的极值，是中档题．
