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桂柳文化 2024届高三桂柳鸿图信息冲刺金卷(四)4数学.考卷答案试卷答案
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可知，该有机物中含有酯基，在碱性条件下将发生水解反应生成羧酸盐和醇，即该有机物在碱性条件下不能稳定存在，C错误；由该有机物的结构简式可知，其分子式为C16H14O2,D正确
10.白芷是一种常用中药，有效成分之一是香豆素
香豆素的结构简式如图所示
下列有关香豆素的叙述正确的是A.可用Na2CO3鉴别香豆素和乙酸B.香豆素苯环上氢原子被取代的一氯代物有2种C.香豆素的分子式为CgHO2D.1mol香豆素最多可与3molNaOH发生反应【答案】A【解析】乙酸分子中含有羧基，能与N2CO3反应放出CO2,而香豆素分子不能，A项正确；香豆素苯环上的一氯代物有4种，B项错误；根据香豆素的结构简式，可知其分子式为CHO2,C项错误；香豆素分子中含有酯基，可以在NaOH溶液中发生水解，生成的酚羟基和羧基各消耗1molNaOH,故1mol香豆素最多可消耗2molNaOH,D项错误
11.我国科研人员发现中药成分黄芩素能明显抑制新冠病毒的活性
黄芩素的结构简式如图所示
下列相关说法正确的是A.黄芩素分子式为CHOHOB.分子中有3种含氧官能团，在空气中不易被氧化C.黄芩素的核磁共振氢谱显示有八组峰HOD.0.1mol黄芩素与H2完全加成需要0.7molH2OHO【答案】C【解析】黄芩素分子式为C5H1O,A错误；分子中有羟基、醚键、羰基3种含氧官能团，酚羟基在空气中易被氧化，B错误；黄芩素分子内有8种氢原子，核磁共振氢谱显示有八组峰，C正确；苯环、羰基、碳碳双键均能与氢气加成，1mol黄芩素与H2完全加成需要8molH2,则0.1mol黄芩素与H2完全加成需要0.8molH2,D错误
12.柠檬酸是一种常用的酸味剂，广泛用于各种饮料、葡萄酒、糖果、饼干、罐头果汁、乳制品等食品的制造
柠檬酸的结构简式如图所示
下列有关该物质的叙述不正确的是A.能发生取代反应，不能发生加成反应0OHB.与乙酸CH3COOH互为同系物HOC.1mol该物质与足量钠反应可得4gH2HCOO—CH2D.与HCOO一C一OH互为同分异构体OHOHHCOO-CH【答案】B【解析】羧基中的C一O键不能发生加成反应，但羧基可以发生取代反应，A项正确；柠檬酸的分子式为CHO,而乙酸的分子式为C2H4O2,二者不是相差n个CH2原子团，二者不是同系物，也可以根据羧基数目不同做出判断，B项错误；lmol柠檬酸中含3mol-COOH和1mol一OH,与足量Na反应，可产生2molH2,C项正确；二者分子式相同，结构不同，属于同分异构体，D项正确
13.中国某科研团队研究发现，阿比朵尔对新型冠状病毒具有有效的抑制作用，其结构简式如图所示
下列有关阿比朵尔的说法正确的是A.阿比朵尔为芳香烃B.所有碳原子一定处于同一平面C.其酸性水解产物之一能与NaHCO3反应D.1mol该分子最多能与5mol氢气发生加成反应【答案】CBr【解析】从阿比朵尔的结构简式可看出含有硫、氧、氮、溴，是烃的衍生物，故A错误；单键可以旋转，从阿比朵尔的结构简式可看出，与酯基相连的乙基的两个碳原子、与硫原子相连的碳原子可能不与苯环共面，所以所有碳原子不一定处于同一平面，故B错误；阿比朵尔中含有酯基，其酸性水解产物之一含有羧基，能与NHCO,反应，故C正确；酯基中的碳氧双键不能与氢气加成，1mol该分子最多能与4mol氢气发生加成反应，故D错误
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分析（1）求得h（x）的导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；
（2）要证对任意n∈N*，均有$\frac{{e}^{n}}{n!}$≤${e}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}$≤en．即证ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$≤1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜ln（en），构造函数F（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，求出导数，判断单调性，由累加法即可证得左边；再由数学归纳法证得右边．
解答解：（1）函数h（x）=f′（x）+g（x）=1+lnx+$\frac{a}{x}$-2（x＞0），
h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）递增；
当a＞0时，h′（x）＞0，可得x＞a；h′（x）＜0，可得0＜x＜a．
综上可得，a≤0时，h（x）的增区间为（0，+∞）；
a＞0时，h（x）的增区间为（a，+∞），减区间为（0，a）；
（2）证明：要证对任意n∈N*，均有$\frac{{e}^{n}}{n!}$≤${e}^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}}$＜en．
即证ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$≤1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜ln（en），
先证ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$≤1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
由F（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$的导数F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
当x≥1时，F（x）递增，F（x）≥F（1）=0，
即为$\frac{1}{x}$≥1-lnx=ln$\frac{e}{x}$，
令x=1，2，3，…，n，累加可得，
1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$≥lne+ln$\frac{e}{2}$+…+ln$\frac{e}{n}$=ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$；
再证1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜ln（en），
运用数学归纳法证明．
当n=1时，左边=1，右边=lne=1，成立；
假设n=k时，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$≤ln（ek），成立．
当n=k+1时，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$≤ln（ek）+$\frac{1}{k+1}$，
要证1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$≤lne（k+1），
只要证ln（ek）+$\frac{1}{k+1}$≤lne（k+1），
即证$\frac{1}{k+1}$≤ln$\frac{k+1}{k}$=ln（1+$\frac{1}{k}$），
可令x=$\frac{1}{k}$∈（0，1]，即证ln（1+x）≥$\frac{x}{x+1}$，
由G（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$的导数为$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$＞0，
则G（x）在（0，1]递增，即有G（x）＞G（0）=0，
即有ln（1+x）≥$\frac{x}{x+1}$成立，故$\frac{1}{k+1}$≤ln$\frac{k+1}{k}$=ln（1+$\frac{1}{k}$），
综上可得1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$＜ln（en），
故原不等式成立．
点评本题考查导数的运用：求单调区间，考查不等式的证明，注意运用构造函数判断单调性，同时考查累加法和分类讨论的思想方法，以及数学归纳法的运用，属于难题．
