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天一大联考 2024年普通高等学校招生全国统一考试预测卷(5月)数学.考卷答案试卷答案
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四.解答题：本题共6小题，共70分.17.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+3.(1)求数列{an的通项公式；(2)保持数列{a}中各项先后顺序不变，在ak与ak+1之间插入k个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前项和为Tn,求T5o的值.18.(12分)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为边BC上一点，若号=肥DC(1)证明：AD平分∠BAC:(2)若△ABC为锐角三角形，AB=7,AC=8,∠C=号求AD的长.19.(12分)每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.频率频率组距组距0.07250.06250.06750.04250.0350.020.01750.0150.00250.01003236404448525660睡眠时间t03236常参加体育锻炼人员404448525660睡眠时间：不常参加体育锻炼人员(1)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列2×2列联表，并依据小概率值c=0.01的独立性检验，分析“睡眠足”与“常参加体育锻炼”是否有关？睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员总计(2)现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为X,求X的分布列及数学期望；高三四校联考数学学科第3页共4页
分析设BC中点为O，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与CC1所成的角的余弦值．
解答解：设BC中点为O，以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OA1为z轴，
∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4，底面边长都为3，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，
∴A（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，0），B（0，-$\frac{3}{2}$，0），C（0，$\frac{3}{2}$，0），C1（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{37}}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{37}}{2}$），
设异面直线AB与CC1所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{C{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{C}_{1}}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{C{C}_{1}}|}$|=|$\frac{\frac{27}{4}}{3×4}$|=$\frac{9}{16}$．
∴异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为$\frac{9}{16}$．
故选：A．
点评本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
